Expresiones Algebraicas, Exponentes Enteros y Notación Científica

EVALUAR EXPERSIONES ALGEBRAICAS

Consiste en sustituir el o los valores proporcionados de las variables, para encontrar el valor numérico de la expresión.

Es importante considerar al evaluar una expresión algebraica alguno de los siguientes conceptos:

            El signo del resultado será el signo del número con mayor valor absoluto.   

- 9 + 7 = - 2

9 - 7 = +2

Si los signos de los dos números son iguales, el resultado tiene el signo que lleven los números. 

9 + 7 = 16

-9 - 7 = -16

            La multiplicación de números con signos diferentes da resultado negativo

( + ) ( - ) = -

( - ) ( + ) = -

La multiplicación de números con signos iguales da resultado positivo (+).  

( - ) ( - ) = +

( + ) ( + ) = +

Para poder evaluar una expresión algebraica se deben de seguir los siguientes pasos:

1. Lea y analiza el problema.

2. Resuelve la evaluación de la expresión algebraica considerando algunos de los conceptos de signos.

EXPONENTES ENTEROS

El exponente de una variable representa el número de veces que debe ser 

multiplicada por sí misma. Se rigen por las siguientes leyes, siendo m y n los exponentes:

NOTACIÓN CIENTÍFICA

Es un recurso matemático empleado para simplificar cálculos y representar en forma concisa números muy grandes o muy pequeños. Para hacerlo se usan potencias de diez.

Para expresar un número en notación científica se identifica la coma decimal y se desplaza hacia la izquierda, si el número a convertir es mayor que 10, en cambio, si el número es menor que 1 (empieza con cero coma) se desplaza hacia la derecha tantos lugares como sea necesario para que (en ambos casos) el único dígito que quede a la izquierda de la coma esté entre 1 y 9 y que todos los otros  dígitos aparezcan a la derecha de la coma decimal.

732,5051  = 7,325051 • 10²  

−0,005612  =  −5,612 • 10⁻³ 

DR© Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, Universidad Virtual | México, 2004. Disponible en: http://www.cca.org.mx/

Universidad Nacional de Colombia. Sede Bogota. Disponible en: http://www.virtual.unal.edu.co/

 Profesor en línea.Querelle y Cia Ltda. Santiago, Chile. http://www.profesorenlinea.cl/

Álgebra

ÁLGEBRA

Se encuentran números, letras y signos que representan las diversas operaciones aritméticas.

Los números son constantes, pero las letras pueden representar tanto constantes como variables. Las primeras letras del alfabeto se usan para representar constantes y las últimas para variables.

En las operaciones se utilizan los símbolos o signos de agrupación, que se encuentran los paréntesis ( ), corchetes [ ], llaves { } y rayas horizontales —también llamadas vínculos— que suelen usarse para representar la división y las raíces.

Los símbolos de las operaciones básicas son bien conocidos de la aritmética: adición (+), sustracción (-), multiplicación (×) y división (:).

En el caso de la multiplicación, el signo ‘×’ normalmente se sustituye por un punto, como en a·b.

La división se indica normalmente mediante rayas horizontales. También se usa para separar el numerador, a la izquierda de la raya, del denominador, a la derecha, en las fracciones.

POLINOMIOS

Son una expresión matemática formada por un conjunto finito de variables y constantes, utilizando únicamente las operaciones aritméticas de suma, resta y multiplicación, así como también exponentes enteros positivos.

Polinomio nulo: Es aquel polinomio que tiene todos sus coeficientes nulos.

P(x) = 0x2 + 0x + 0

Polinomio homogéneo: Es aquel polinomio en el que todos sus términos o monomios son del mismo grado.

P(x) = 2x2 + 3xy

Polinomio heterogéneo: Es aquel polinomio en el que no todos sus términos no son del mismo grado.

P(x) = 2x3 + 3x2 − 3

Polinomio completo: Es aquel polinomio que tiene todos los términos desde el término independiente hasta el término de mayor grado.

P(x) = 2x3 + 3x2 + 5x − 3

Polinomio incompleto: Es aquel polinomio que no tiene todos los términos desde el término independiente hasta el término de mayor grado.

P(x) = 2x3 + 5x − 3

Polinomio ordenado: Un polinomio está ordenado si los monomios que lo forman están escritos de mayor a menor grado.

P(x) = 2x3 + 5x − 3

Polinomios iguales: Dos polinomios son iguales si verifican:

Los dos polinomios tienen el mismo grado.

P(x) = 2x3 + 5x − 3

Q(x) = 5x3 − 2x − 7

Polinomios semejantes: Es el resultado que obtenemos al sustituir la variable x por un número cualquiera.

P(x) = 2x3 + 5x − 3 ; x = 1

                                                     P(1) = 2 · 13 + 5 · 1 − 3 = 2 + 5- 3 = 4 

GRADO

El grado de un polinomio P(x) es el mayor exponente al que se encuentra elevada la variable x.

Según su grado los polinomios pueden ser de:

TIPO	EJEMPLO
PRIMER GRADO	P(x) = 3x + 2
SEGUNDO GRADO	P(x) = 2x2 + 3x + 2
TERCER GRADO	P(x) = x3 − 2x2 + 3x + 2

MONOMIOS, BINOMIOS Y TRINOMIOS

Un monomio es cualquier producto de números y variables.

Las únicas reglas son que las variables deben ser elevadas únicamente a las potencias de enteros positivos (no se permiten raíces cuadradas o 1/x), y no se permiten signos de más o menos.

Un binomio es la suma de dos monomios.

Un trinomio es la suma de tres monomios.

Un polinomio es la suma de n monomios, para algún número entero n.

Vitutor. 2012. www.vitutor.com

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Recta Numérica

RECTA NUMÉRICA

Los números pueden ordenarse en una recta numérica, de esta manera se puede determinar que números son mayores o menores dependiendo de su posición en la recta numérica.

Desigualdades en la Recta Numérica

Las desigualdades comparan dos valores.  

Por ejemplo: Temperatura mayor que -4 y menor que 12

En la desigualdad aparece al menos una incógnita o valor desconocido y que se cumple para ciertos valores de ella. Se utilizan signos de mayor y menor que.

 4 > –1,  porque 4 está a la derecha de –1 en la recta numérica.

–2 < 3,  porque –2 está a la izquierda de 3 en la recta numérica

Valor Absoluto

El valor absoluto es  el número natural que sigue al signo. Se indica poniendo el número entero entre dos barras. Los números +3 y -3 se encuentran a la misma distancia del cero. Ocurre así porque los dos números enteros están formados por el mismo natural, el 3, aunque con distinto signo.

El número natural 3 se llama valor absoluto de +3 y -3, y si indica así:

|+3| = |-3| = 3

Distancia en la Recta Numérica

La distancia entre dos puntos en la recta numérica es la distancia de cualquier punto P(x) al origen será ( x ) , ya que (x -O)= (x).  La distancia entre dos puntos cualquiera A(X) y B(y) será el valor absoluto de la resta de sus coordenadas en el orden que se prefiera, (x -y) =(y-x). El concepto de valor absoluto nos evita inconvenientes con los signos en el manejo de la distancia en el sistema coordenado lineal.  

 EJEMPLO
Distancia entre A(6) y B(-3) AB = ((6) - (-3)) = ( (-3) - (6) )     =      (6 + 3 ) = ( - 3 - 6 )    =           (9)= (-9)    =   9 





http://www.ejemplode.com/5-matematicas/398-ejemplo_de_distancia_entre_dos_puntos_en_la_recta_numerica.html

                                                                            www.geothesis.com

Operaciones con Fracciones

Operaciones con Fracciones

Una fracción es un número que se obtiene de dividir una totalidad en partes iguales. Se representan matemáticamente por números que están escritos uno sobre otro y que se hallan separados por una línea recta horizontal. 

SUMA Y RESTA DE MISMO DENOMINADOR

SUMA Y RESTA DE DIFERENTE DENOMINADOR

1.      Se encuentra el común denominador de las fracciones (mínimo común múltiplo).

2.      Se divide el mínimo común múltiplo por los denominadores y se multiplica el cociente que se obtuvo por los numeradores.

3.      Luego se suman o restan los numeradores de las fracciones.

Ejemplo : 1 +  4

                 3    15

MULTIPLICACIÓN DE FRACCIONES

1.      Se multiplica el numerador de una fracción por el otro numerador.

2.      Se multiplican los dos denominadores, quedando como resultado otra fracción.

DIVISIÓN DE FRACCIONES

1.    1. Se multiplica el numerador de la primera fracción con el denominador de la segunda fracción.

2.    2. Se multiplica el numerador de la segunda fracción con el denominador de la primera fracción, quedando como resultado otra fracción.

PASAR UN DECIMAL PERIÓDICO A FRACCIÓN

1.      Se escribe el decimal dividido por 1. 2.      Se multiplica el número por el denominador y el numerador. 3.      Se simplifica la fracción. × 3 0.333... = 0.999... 1 3 × 3               =   1/3

PASAR UN DECIMAL NO PERIÓDICO A FRACCIÓN 1.      Se escribe el decimal divido por 1. 2.      Se multiplican los números de arriba y abajo por una 10 una vez por cada número luego de la coma. (Por ejemplo, si hay dos números luego del decimal, se multiplican por 100, si hay tres se utiliza el 1000, etc.) 3.      Se simplifica la fracción. Fracción a Decimal 1. Se divide el numerador entre el denominador. 2. Si el numerador es más pequeño que el denominador, el primer número del resultado, será un "0", indicando cero enteros, entonces al dividendo le pones un punto y le agregas un 0 a la derecha para poder dividir, y pon los ceros que sean necesarios hasta que el sobrante sea también un cero. Algunas fracciones tienen números decimales, que contienen grupo de dígitos que se repiten, para evitar los dígitos repetidos, puedes expresar el sobrante como fracción.

Operaciones Aritméticas Entre Números Reales

LEY DE LOS SIGNOS

División

Multiplicación

ORDEN OPERACIONAL

Paréntesis primero

Exponentes (potencias y raíces cuadradas, etc.)

Multiplicación y División (de izquierda a derecha)

Adición y Sustracción (de izquierda a derecha)

Ejemplo 

Propiedades de los Números Reales

PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS REALES

Interna:

El resultado de multiplicar dos números reales es otro número real.

Asociativa:

El modo de agrupar los factores no varía el resultado. Si a, b y c son números reales cualesquiera, se cumple que:

(a · b) · c = a · (b · c)

No se cumple para la resta o la división.

Conmutativa:

El orden de los factores no varía el producto.

Elemento neutro:

El 1 es el elemento neutro de la multiplicación, porque todo número multiplicado por él da el mismo número.

Elemento opuesto:

Un número es inverso del otro si al multiplicarlos obtenemos como resultado el elemento unidad.

Distributiva:

El producto de un número por una suma es igual a la suma de los productos de dicho número por cada uno de los sumandos.

Sacar factor común:

Es el proceso inverso a la propiedad distributiva.

Si varios sumandos tienen un factor común, podemos transformar la suma en producto extrayendo dicho factor.

a · b + a · c = a · (b + c)

Propiedades de Identidad
Cuando se suma el número 0 a cualquier número real, éste no cambia.

 a + 0 = 0
0 + a = 0
Cuando cualquier número real se multiplica por 1 no sufre ningún cambio.
1 * a = a
a * 1 = a

Propiedades del Inverso
Dos números cualesquiera cuya suma sea igual a 0 reciben el nombre de inversos aditivos.

a + (-a) = 0
-a + a = 0
 Dos números cualesquiera cuyo producto sea 1 se denominan inversos multiplicativos.
a * 1/a = 1
1/a * a = 1

Álgebra elemental. Allen R. Angel. Sexta Edición. (2007) Pearson Educación. México. 
Vitutor. 2012. www.vitutor.com