Expresiones Racionales

Expresiones Racionales

Son de la forma:
donde  son polinomios y .  Al polinomio p(x) se le llama el numerador y al polinomio q(x) se le llama el denominador. Para poder resolver estas operaciones, se debe tener en cuenta las reglas de las operaciones con fracciones.

SUMA Y RESTA

Se debe tener en cuenta, que al igual que con las operaciones con fracciones, se debe de tener el mismo denominador.

Cuando se tiene el mismo denominador, se siguen los siguientes pasos:

1. Se suman y/o restan todos los numeradores y se escribe sobre el denominador común.

2. Si en un caso existiera un signo menos antes del paréntesis, se cambian los signos de los números que están dentro de este.

3. Sumar o restar los términos semejantes del numerador.

PARA ENCONTRAR EL DENOMINADOR COMÚN 

• Se debe de hallar la factorizacion de cada uno de los denominadores.

EJEMPLO:

1

2

3

R

MULTIPLICACIÓN 

Se debe de multiplicar sus denominadores y sus numeradores. Se aconseja simplificar antes de multiplicar.

EJEMPLO:

DIVISIÓN 

 Consiste en multiplicar el dividendo por el recíproco del divisor.

EJEMPLO:

Universidad de Puerto Rico Mayaguez.Ciencias Matemáticas (2011) Disponible en : http://quiz.uprm.edu/

Sistemas de Ecuaciones 2x2

Sistemas de Ecuaciones

Dos ecuaciones con dos incógnitas forman un sistema, cuando deseamos encontrar una solución común.

La solución de un sistema es un par de números x_1, y₁, que reemplazando X por x₁ y Y por y₁, se satisfacen a la vez ambas ecuaciones.

Método de Sustitución

1. Se despeja una incógnita en una de las ecuaciones, X o Y.

2. Se sustituye el resultado de esta incógnita en la otra ecuación, teniendo como resultado una ecuación con una sola incógnita.

3. Se resuelve la ecuación.

4. El resultado obtenido se sustituye en la ecuación en la que aparecía la incógnita despejada.

5. Los dos valores obtenidos constituyen la solución del sistema.

EJEMPLO:

1. Despejar

2.Sustituir 

3. Resolver

4. Sustituir el Valor

5. Solución

Método de Igualación

1. Se despeja la misma incógnita en las dos ecuaciones.

2. Se igualan las expresiones, con lo que obtenemos una ecuación con      una incógnita.

3. Se resuelve la ecuación.

4. La respuesta obtenida se sustituye en cualquiera de las dos ecuaciones en las que aparecía despejada la otra incógnita.

5. Los dos valores obtenidos son la solución del sistema.

EJEMPLO:

Paso 1

Paso 2

Paso 3

Paso 4

Respuesta

Método de Reducción

1.Se preparan las dos ecuaciones, multiplicándolas por los números que convenga.

2.Se restan y desaparece una de las incógnitas.

3.Se resuelve la ecuación resultante.

4.El valor obtenido se sustituye en una de las ecuaciones iniciales y se resuelve.

5.  Los dos valores obtenidos son la solución del sistema.

EJEMPLO:

Aplicar paso 1

Paso 2, restarlas

Paso 3, Sustituir el valor de la incógnita

Resultados

Método Gráfico

Este método consiste en despejar la variable Y en las dos ecuaciones y dejarla en función de X. Hay dos formas de realizarlo: Por intercepto : que consiste en hacer X=0 cuanto vale Y e Y =0 cuanto vale X en las dos ecuaciones como una línea recta es la distancia mínima entre dos puntos. Luego, se trafican los puntos en el plano cartesiano. 

Tablas: dando valores a X encontramos valores de Y y graficamos.

1. Despejar las ecuaciones en función de X. 

2. Ya despejadas, se  resuelven por tabla o por intercepto. 

Vitutor. (2012) Disponible en: www.vitutor.com

Orlando Fuentes. Sistema de Ecuaciones 2x2 (2012) 

Despeje de Fórmulas

Despeje de Fórmulas

Son los diferentes procedimientos que se utilizan para dejar la variable que buscamos, generalmente del lado izquierdo de la ecuación.

Para despejar::

• Lo que en la ecuación está sumando pasa restar.
• Lo que está restando pasa a sumar.
• Lo que está multiplicando pasa a dividir.
• Lo que está dividiendo pasa a multiplicar.
• Si se encuentra un exponente pasa con raíz.

Procedimientos

1. Si existen denominadores, para eliminarlos se debe hallas el mínimo común múltiplo en ambos lados de la ecuación.

2. Todo los términos que tengan la variable que se quiera despejar, pasan a un sólo lado de la fórmula, y los demás términos al otro lado.

(Debe tomarse en cuenta las primeras reglas de despeje)

3.Si existen términos semejantes, deben de sumarse.

4.Los números o variables que acompañan la incógnita que se quiere despejar pasan 
al otro lado a realizar la operación contraria.

5.Si la variable queda negativa, se multiplica por (-1) a ambos lados de la fórmula para
 volverla positiva (en la práctica es cambiarle el signo a todos los términos de la 
fórmula)

6.Si la variable queda elevada a alguna potencia, se debe de sacar raíz (n) al otro 
lado de la fórmula para eliminar la potencia. 

EJEMPLO

Despejar el valor de ¨b¨

1. A=(B+b)h

         2

2. 2A= (B+b)h

3. 2A= B+b

        h

  R/    2A - B = b

 h

Cesar Minaya. República Dominicana. Despeje de Fórmulas. Disponible en: http://analisismatematicouniversitario.blogspot.com/p/despejes-de-formulas.html

Compleción del Cuadrado

Compleción del Cuadrado

Consiste en hacer que las ecuaciones cuadráticas se vuelvan más sencillas. Esta se puede realizar mediante la fórmula general, sustituyendo los datos de la forma ax + bx+ c. 

De igual manera simplificando la ecuación entre el coeficiente del primer término cuadrado y luego despejar la icnógnita por medio de sustitución y simplificación. 
Este se utiliza para obtener resultados numéricos de los coeficientes de los números de las fórmulas, los cuales pueden ser positivos o negativos.

Ecuaciones Cuadráticas

Ecuaciones Cuadráticas

Ecuación es una relación entre números y letras, se trabaja con ecuaciones en las que sólo hay una letra, llamada incógnita, que suele ser la x.

Resolver la ecuación se debe de encontrar un valor (o varios) que, al sustituirlo por la incógnita, haga que sea cierta la igualdad. Ese valor es la solución de la ecuación.

Las ecuaciones cuadráticas caracterizan porque pueden tener dos soluciones, pueden llamarse también ecuaciones de segundo grado.

Cualquier ecuación cuadrática se puede expresar de la siguiente forma:

      ax² + bx + c = 0

Donde a, b y c son las variables que habrá que sustituir por los números reales que corresponda en cada caso.

Solución por factorización

En una ecuación  cuadrática uno  de sus miembros es un polinomio de segundo grado y el otro es cero. Cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse, se debe de convertir en un producto de binomios.

Cuando se encuentra el producto de binomios, se debe de buscar el valor de x de cada uno. Para hacerlo se iguala a cero cada factor y se despeja para la variable. Luego se iguala a cero ya que si un producto es igual a cero, uno de sus multiplicandos, o ambos, es igual a cero.

Ejemplo1:

(x + 3)(2x − 1) = 9

(2x − 3)(x + 4) = 0

Se igualan a 0.

2x − 3 = 0                     

2x = 3

        

x + 4 = 0

x = −4

Al resolver este tipo de ecuaciones, también puede utilizarse el factor común para simplificar la ecuación.

Solución por completación de cuadrados

Se llama método de la completación de cuadrados ya que en la ecuación cuadrática se pueden realizar operaciones algebraicas que la transforman en una ecuación del tipo:

(ax + b)² = n

en la cual el primer miembro de la ecuación (ax + b)², es el cuadrado de la suma de un binomio. Partiendo de una ecuación del tipo

x² + bx + c = 0

Ejemplo:

x² + 8x − 48 = 0

x² + 8x + 16 = 48 + 16

x² + 8x + 16 = 64

(x + 4) (x + 4) = 64

(x + 4)² = 64

x + 4 = 8

x = 8 − 4

x = 4

Solución por la fórmula general 

Existe una fórmula que permite resolver cualquier ecuación de segundo grado, que es la siguiente:

Esta fórmula tiene como producto dos respuestas: Una con el signo más (+) y otra con el signo menos (−)  antes de la raíz. Para solucionarla se debe de identificar las letras a, b y  c y sustituir sus valores en la fórmula.

Ejemplo:   2x² + 3x − 5 = 0         a = 2,     b = 3   y     c = −5,

(Primera respuesta)

       

                                                      (Segunda respuesta)

  

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Santiago - CHILE

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Distancia y Punto Medio de una Recta

Distancia Entre Dos Puntos En Una Línea Recta

Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas.

Abscisas: Coordenada horizontal en un plano cartesiano rectangular.

Estos se localizan en un plano cartesiano, en el cual se localizan los ejes X (horizontal) y Y (vertical).

Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje Y o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus ordenadas.

Valor Absoluto: Valor numérico sin tener en cuenta su signo, sea este positivo o negativo.

Si los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de coordenadas, la distancia queda determinada por la relación:

Para demostrar esta relación se deben ubicar los puntos A(x₁,y₁) y B(x₂,y₂) en el sistema de coordenadas, luego formar un triángulo rectángulo de hipotenusa AB y emplear el teorema de pitágoras.

Hipotenusa: Es el lado de mayor longitud de un triángulo rectángulo, y el lado opuesto al ángulo recto.

Teorema de Pitágoras: Establece que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. 

EJEMPLO: distancia entre los puntos A(7,5) y B (4,1)

d = 5 unidades

PUNTO MEDIO

El punto medio de una recta se encuentra mediante la siguiente ecuación:

Se necesita encontrar dos puntos en las coordenadas de X y dos puntos en las coordenadas Y.

                                                                                                                                                                                  Danny Perich C. - Sector Matemática © 2000 - 2013.  Disponible en:   http://www.sectormatematica.cl

Pendiente y Ecuaciones de La Recta

PENDIENTE DE UNA RECTA

Es el grado medida de inclinación de una recta, la razón de cambio en Y con respecto al cambio en X.

Si una recta pasa por dos puntos distintos (x₁, y₁) y (x₂, y₂), entonces su pendiente (m) está dada por:

Interpretación 

Pendiente	Tipo de recta
positiva	recta ascendente
negativa	recta descendente
cero	recta horizontal
no definida	recta vertical

ECUACIONES

Pendiente-Intercepto

Ecuaciones de la forma y = mx + b donde m representa la pendiente y b el intercepto en y se conocen como ecuaciones de la forma pendiente-intercepto. 

Lineales en Dos Variables en Forma General

Una ecuación de la forma ax + by = c donde a, b y c son constantes con a diferente de cero, b diferente de cero, x, y variables. 

Rectas verticales y horizontales

La ecuación de una recta vertical se expresa de la forma x = a, donde a es una constante.  Recuerda que en una recta vertical la pendiente no está definida.

La ecuación de una recta horizontal se expresa de la forma y = b, donde b es una constante.  La pendiente de una recta horizontal es cero.

Forma punto-pendiente

La ecuación de la recta que pasa por un punto (x₁, y₁) con pendiente m en la forma punto-pendiente es  y – y₁ = m(x – x₁).

EJEMPLOS:

A. 

y – y₁ = m(x – x₁)

y – (–4) = – 1/3(x – 2)

3(y + 4) = –1(x – 2)

3y + 12 = –x + 2

3y +12 + x – 2 = 0

3y + x + 10 = 0

x + 3y + 10 = 0

B. La ecuación de la recta que pasan por los puntos A(-2, -3) y B(4,2) es:

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http://facultad.bayamon.inter.edu

http://www.profesorenlinea.cl