MI PRE UNIVERSITARIO: julio 2014

jueves, 24 de julio de 2014

Compleción del Cuadrado

Consiste en hacer que las ecuaciones cuadráticas se vuelvan más sencillas. Esta se puede realizar mediante la fórmula general, sustituyendo los datos de la forma ax + bx+ c.

De igual manera simplificando la ecuación entre el coeficiente del primer término cuadrado y luego despejar la icnógnita por medio de sustitución y simplificación.
Este se utiliza para obtener resultados numéricos de los coeficientes de los números de las fórmulas, los cuales pueden ser positivos o negativos.

Ecuaciones Cuadráticas

Ecuación es una relación entre números y letras, se trabaja con ecuaciones en las que sólo hay una letra, llamada incógnita, que suele ser la x.

Resolver la ecuación se debe de encontrar un valor (o varios) que, al sustituirlo por la incógnita, haga que sea cierta la igualdad. Ese valor es la solución de la ecuación.

Las ecuaciones cuadráticas caracterizan porque pueden tener dos soluciones, pueden llamarse también ecuaciones de segundo grado.

Cualquier ecuación cuadrática se puede expresar de la siguiente forma:

ax² + bx + c = 0

Donde a, b y c son las variables que habrá que sustituir por los números reales que corresponda en cada caso.

Solución por factorización

En una ecuación cuadrática uno de sus miembros es un polinomio de segundo grado y el otro es cero. Cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse, se debe de convertir en un producto de binomios.

Cuando se encuentra el producto de binomios, se debe de buscar el valor de x de cada uno. Para hacerlo se iguala a cero cada factor y se despeja para la variable. Luego se iguala a cero ya que si un producto es igual a cero, uno de sus multiplicandos, o ambos, es igual a cero.

Ejemplo1:

(x + 3)(2x − 1) = 9

(2x − 3)(x + 4) = 0

Se igualan a 0.

2x − 3 = 0

2x = 3

x + 4 = 0

x = −4

Al resolver este tipo de ecuaciones, también puede utilizarse el factor común para simplificar la ecuación.

Solución por completación de cuadrados

Se llama método de la completación de cuadrados ya que en la ecuación cuadrática se pueden realizar operaciones algebraicas que la transforman en una ecuación del tipo:

(ax + b)² = n

en la cual el primer miembro de la ecuación (ax + b)², es el cuadrado de la suma de un binomio. Partiendo de una ecuación del tipo

x² + bx + c = 0

Ejemplo:

x² + 8x − 48 = 0

x² + 8x + 16 = 48 + 16

x² + 8x + 16 = 64

(x + 4) (x + 4) = 64

(x + 4)² = 64

x + 4 = 8

x = 8 − 4

x = 4

Solución por la fórmula general

Existe una fórmula que permite resolver cualquier ecuación de segundo grado, que es la siguiente:

Esta fórmula tiene como producto dos respuestas: Una con el signo más (+) y otra con el signo menos (−) antes de la raíz. Para solucionarla se debe de identificar las letras a, b y c y sustituir sus valores en la fórmula.

Ejemplo: 2x² + 3x − 5 = 0 a = 2, b = 3 y c = −5,

(Primera respuesta)

(Segunda respuesta)

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Santiago - CHILE

sábado, 19 de julio de 2014

Distancia y Punto Medio de una Recta

Distancia Entre Dos Puntos En Una Línea Recta

Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje x o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus abscisas.

Abscisas: Coordenada horizontal en un plano cartesiano rectangular.

Estos se localizan en un plano cartesiano, en el cual se localizan los ejes X (horizontal) y Y (vertical).

Cuando los puntos se encuentran ubicados sobre el eje Y o en una recta paralela a este eje, la distancia entre los puntos corresponde al valor absoluto de la diferencia de sus ordenadas.

Valor Absoluto: Valor numérico sin tener en cuenta su signo, sea este positivo o negativo.

Si los puntos se encuentran en cualquier lugar del sistema de coordenadas, la distancia queda determinada por la relación:

Para demostrar esta relación se deben ubicar los puntos A(x₁,y₁) y B(x₂,y₂) en el sistema de coordenadas, luego formar un triángulo rectángulo de hipotenusa AB y emplear el teorema de pitágoras.

Hipotenusa: Es el lado de mayor longitud de un triángulo rectángulo, y el lado opuesto al ángulo recto.

Teorema de Pitágoras: Establece que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

EJEMPLO: distancia entre los puntos A(7,5) y B (4,1)

d = 5 unidades

PUNTO MEDIO

El punto medio de una recta se encuentra mediante la siguiente ecuación:

Se necesita encontrar dos puntos en las coordenadas de X y dos puntos en las coordenadas Y.

jueves, 17 de julio de 2014

Pendiente y Ecuaciones de La Recta

PENDIENTE DE UNA RECTA

Es el grado medida de inclinación de una recta, la razón de cambio en Y con respecto al cambio en X.

Si una recta pasa por dos puntos distintos (x₁, y₁) y (x₂, y₂), entonces su pendiente (m) está dada por:

Interpretación

Pendiente	Tipo de recta
positiva	recta ascendente
negativa	recta descendente
cero	recta horizontal
no definida	recta vertical

ECUACIONES

Pendiente-Intercepto

Ecuaciones de la forma y = mx + b donde m representa la pendiente y b el intercepto en y se conocen como ecuaciones de la forma pendiente-intercepto.

Lineales en Dos Variables en Forma General

Una ecuación de la forma ax + by = c donde a, b y c son constantes con a diferente de cero, b diferente de cero, x, y variables.

Rectas verticales y horizontales

La ecuación de una recta vertical se expresa de la forma x = a, donde a es una constante. Recuerda que en una recta vertical la pendiente no está definida.

La ecuación de una recta horizontal se expresa de la forma y = b, donde b es una constante. La pendiente de una recta horizontal es cero.

Forma punto-pendiente

La ecuación de la recta que pasa por un punto (x₁, y₁) con pendiente m en la forma punto-pendiente es y – y₁ = m(x – x₁).

EJEMPLOS:

y – y₁ = m(x – x₁)

y – (–4) = – 1/3(x – 2)

3(y + 4) = –1(x – 2)

3y + 12 = –x + 2

3y +12 + x – 2 = 0

3y + x + 10 = 0

x + 3y + 10 = 0

B. La ecuación de la recta que pasan por los puntos A(-2, -3) y B(4,2) es:

www.ditutor.com

http://facultad.bayamon.inter.edu

http://www.profesorenlinea.cl

viernes, 11 de julio de 2014

Ecuaciones de Primer Grado

ECUACIONES DE PRIMER GRADO

Se le llaman ecuaciones de primer grado a las igualdades algebraicas con incógnitas cuyo exponente es 1 (el cual no se escribe).

¿Cómo resolverlas?

1. Se reducen los términos semejantes, cuando es posible.

2. Se aplica el inverso aditivo o multiplicativo, los que contengan la incógnita se ubican en el lado izquierdo, y los que no la tengan en el derecho.

3. Se reducen términos semejantes, hasta donde es posible.

4. Se despeja la incógnita, dividiendo ambos miembros de la ecuación por el coeficiente de la incógnita (inverso multiplicativo), y se simplifica.

1. Resolución con Una Incógnita

Se aplica el operador inverso, siempre teniendo en cuenta los signos.

EJEMPLO:

2x – 3 = 53

2x – 3 + 3 = 53 + 3

2x = 53 + 3

2x = 56

x = 56 / 2

x = 28

EJEMPLO 2:

2. Resolver Ecuaciones con Agrupaciones de Signos

Primero se debe de suprimir los signos de agrupación considerando la ley de signos, y en caso de existir varias agrupaciones, desarrollamos de adentro hacia afuera las operaciones. Debemos de recordar siempre el orden operacional.

EJEMPLO:

Si tenemos un signo – antes del signo de agrupación, este signo afectará a todo lo que esté dentro del signo. Todos los términos dentro del signo de agrupación cambiarán de signo. Por ejemplo: –(3x – 5) = – 3x + 5

3. Resolución de Ecuaciones con Productos Incluidos

Primero se efectúan los productos incluidos y luego se sigue el procedimiento general (aplicando el criterio de las operaciones inversas).

EJEMPLO:

4. Resolver Problemas Mediante Ecuaciones

Para resolver un problema, primero debemos plantearlo en forma matemática (realizar una ecuación) y luego realizar las operaciones correspondientes para hallar el valor de la incógnita (el dato que deseamos conocer).

EJEMPLO:

Problema: Fernando es 3 años menor que Álvaro, pero es 7 años mayor que Lucía. Si la suma de las edades de los tres es 38, ¿qué edad tiene cada uno?

1. Digamos que las edades de los tres son:

x edad de Fernando

y edad de Álvaro

z edad de Lucía

2. Sabemos que la edad de Álvaro es igual a la edad de Fernando más 3 años:

y = x + 3

También sabemos que la edad de Lucía es igual a la edad de Fernando menos 7 años:

z = x – 7

Ahora tenemos que:

edad de Fernando: x

edad de Álvaro: x +3

edad de Lucía: x – 7

3. La suma de las tres edades es 38:

x + x +3 + x – 7 = 38

4. Resolviendo está última ecuación tendremos:

x = 14 (esta es la edad de Fernando)

R. Finalmente:

edad de Fernando: x = 14 años

edad de Álvaro: x + 3 = 17 años

edad de Lucía: x – 7 = 7 años

Profesor en línea.Querelle y Cia Ltda. Santiago, Chile. http://www.profesorenlinea.cl/

jueves, 10 de julio de 2014

División de Polinomios Y División Sintética

División de Polinomios

Para realizar esta operación, se necesita tener claro:

1.División de un Monomio por otro Monomio

Se divide el coeficiente del dividiendo entre el coeficiente del divisor y se escriben las letras ordenadas alfabéticamente, elevando cada letra a un exponente igual a la diferencia entre el exponente que tiene en el dividendo y el exponente que tiene en el divisor. El signo del cociente será el que corresponda al aplicar la regla de los signos.

EJEMPLO:

2. División de un Polinomio por un Monomio

Se divide cada uno de los términos del polinomio por el monomio teniendo en cuenta la regla de los signos, y se suman los cocientes

EJEMPLO:

3. División de un Polinomio por un Polinomio

División Sintética

Se utiliza para dividir un polinomio entre un binomio de la forma x-c y su aplicación principal es para determinar los ceros de un polinomio.

PASOS

1. Establezca la división sintética, colocando en la primera fila los coeficientes del polinomio (si algún término no aparece, asígnele coeficiente cero) y a la extrema izquierda el valor de x.

2. Baje el coeficiente principal a la tercera fila.

3. Multiplique x por el coeficiente principal n.

4. Sume los elementos de la segunda columna.

5. Luego repita el paso 4 hasta que se llegue al término constante.

6. Escriba la respuesta, es decir, el cociente y residuo. Como el dividendo es de grado

n

y el divisor es de grado 1, el cociente es de grado

n 1

y sus coeficientes son

b_{n 1} b_{n 1} b_{1} b_{0}

y el residuo es

a_{0} {cb}_{0}

EJEMPLO:

Gral.Lázaro Cárdenas. Disponible en: http://www.eplc.umich.mx/salvadorgs/matematicas1/contenido/CapIII/3_7_div_pol.htm

Universidad de Puerto Rico Recinto Mayaguez. Disponible en: http://quiz.uprm.edu

Casos de Factorización

Factorizar se podría entender como expresar un polinomio como el producto de polinomios más simples.Se encuentran 9 diferentes casos:

1. Factor Común

Sacar el factor común es añadir el literal común de un polinomio, binomio o trinomio con el menor exponente y el divisor común de sus coeficientes.

EJEMPLO:

a^2+a b = a (a+b)

9a^2-12ab+15a^3b^2-24ab^3=3a(3a-4b+5a^2b^2-8b^3)

Factor común de un trinomio: Por agrupación de términos.

EJEMPLO:

ab + ac + ad = a ( b + c + d) \,

ax + bx + ay + by = a (x+y) + b (x+y) = (x+y)(a + b ) \,

Factor Común Polinomios

EJEMPLO:

5x^2(x-y) + 3x(x-y) +7(x-y) \,

(5x^2 + 3x +7) \,

(5x^2+3x+7)(x-y) \,

2. Factor Común Por Agrupación de Términos

Se debe tener en cuenta que son dos características las que se repiten.

EJEMPLO:

2y + 2j +3xy + 3xj\,

= (2y+2j)+(3xy+3xj)\,

Se aplica el caso 1

= 2(y+j)+3x(y+j)\,

= (2+3x)(y+j)\,

3. Trinomio Cuadrado Perfecto

Se identifica por tener tres términos, de los cuales dos tienen raíces cuadradas exactas, y el restante equivale al doble producto de las raíces del primero por el segundo.

(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2\,

(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2\,

EJEMPLO:

(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2\,

4. Diferencia de Cuadrados

Se identifica por tener dos términos elevados al cuadrado y unidos por el signo menos. Se resuelve por medio de dos paréntesis.

(ay-bx)(ay+bx)= (ay)^2-(bx)^2 \,

EJEMPLO:

9y^2-4x^2= (3y)^2-(2x)^2= (3y+2x)(3y-2x)\,

5. Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción

x² + xy + y² x² + xy + y² + (xy-xy) =

x² + 2xy + y² - xy = (x+y)² - xy

6. Trinomio de la forma x² + bx + c

Se identifica por tener tres términos, hay una literal con exponente al cuadrado y uno de ellos es el término independiente.

EJEMPLO:

a^2+2a-15 = (a+5) (a-3) \,

7. Suma o diferencia de potencias

La suma de dos números a la potencia n, aⁿ +bⁿ se descompone en dos factores (siempre que n sea un número impar)

x^n + y^n = (x+y)(x^{n-1}-x^{n-2}y+x^{n-3}y^2-... + xy^{n-2}-y^{n-1}) \,

EJEMPLO:

x^3+1 = (x+1)(x^2-x+1) \,

8. Trinomio de la forma ax² + bx + c

En este caso se tienen 3 términos: El primer término tiene un coeficiente distinto de uno, la letra del segundo término tiene la mitad del exponente del término anterior y el tercer término es un término independiente.

EJEMPLO:

4x^2+12x+9\,

4x^2(4)+12x(4)+(9\cdot4)\

4^2x^2+12x(4)+36\,

Se debe encontrar dos números que multiplicados entre sí den como resultado el término independiente y que su suma sea igual al coeficiente del término x

6\cdot6=36

6+6=12\,

(4x+6)(4x+6)\,

\frac{(4x+6)(4x+6)}{4}\,

=\frac{(4x+6)}{2}\cdot \frac{(4x+6)}{2}\,

(2x+3)(2x+3)\,

=(2x+3)^2\,

9. Cubo perfecto de Tetranomios

(a-b)^3 = a^3-3a^2b+3ab^2-b^3\,

(a+b)^3 = a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\,

Wikiversidad. Julio 2014. Disponible: http://es.wikiversity.org/wiki/Factorización

jueves, 24 de julio de 2014

Compleción del Cuadrado

Ecuaciones Cuadráticas

Solución por factorización

Solución por completación de cuadrados

Solución por la fórmula general

Ejemplo: 2x2 + 3x − 5 = 0 a = 2, b = 3 y c = −5,

sábado, 19 de julio de 2014

Distancia Entre Dos Puntos En Una Línea Recta

PUNTO MEDIO

jueves, 17 de julio de 2014

Interpretación

ECUACIONES

Pendiente-Intercepto

Lineales en Dos Variables en Forma General

viernes, 11 de julio de 2014

ECUACIONES DE PRIMER GRADO

¿Cómo resolverlas?

1. Resolución con Una Incógnita

2. Resolver Ecuaciones con Agrupaciones de Signos

3. Resolución de Ecuaciones con Productos Incluidos

4. Resolver Problemas Mediante Ecuaciones

jueves, 10 de julio de 2014

División de Polinomios

1.División de un Monomio por otro Monomio

2. División de un Polinomio por un Monomio

3. División de un Polinomio por un Polinomio

División Sintética

Casos de Factorización

1. Factor Común

2. Factor Común Por Agrupación de Términos

3. Trinomio Cuadrado Perfecto

4. Diferencia de Cuadrados

5. Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción

6. Trinomio de la forma x2 + bx + c

7. Suma o diferencia de potencias

8. Trinomio de la forma ax2 + bx + c

9. Cubo perfecto de Tetranomios

Ejemplo: 2x² + 3x − 5 = 0 a = 2, b = 3 y c = −5,

6. Trinomio de la forma x² + bx + c

8. Trinomio de la forma ax² + bx + c