MI PRE UNIVERSITARIO

viernes, 11 de julio de 2014

Ecuaciones de Primer Grado

ECUACIONES DE PRIMER GRADO

Se le llaman ecuaciones de primer grado a las igualdades algebraicas con incógnitas cuyo exponente es 1 (el cual no se escribe).

¿Cómo resolverlas?

1. Se reducen los términos semejantes, cuando es posible.

2. Se aplica el inverso aditivo o multiplicativo, los que contengan la incógnita se ubican en el lado izquierdo, y los que no la tengan en el derecho.

3. Se reducen términos semejantes, hasta donde es posible.

4. Se despeja la incógnita, dividiendo ambos miembros de la ecuación por el coeficiente de la incógnita (inverso multiplicativo), y se simplifica.

1. Resolución con Una Incógnita

Se aplica el operador inverso, siempre teniendo en cuenta los signos.

EJEMPLO:

2x – 3 = 53

2x – 3 + 3 = 53 + 3

2x = 53 + 3

2x = 56

x = 56 / 2

x = 28

EJEMPLO 2:

2. Resolver Ecuaciones con Agrupaciones de Signos

Primero se debe de suprimir los signos de agrupación considerando la ley de signos, y en caso de existir varias agrupaciones, desarrollamos de adentro hacia afuera las operaciones. Debemos de recordar siempre el orden operacional.

EJEMPLO:

Si tenemos un signo – antes del signo de agrupación, este signo afectará a todo lo que esté dentro del signo. Todos los términos dentro del signo de agrupación cambiarán de signo. Por ejemplo: –(3x – 5) = – 3x + 5

3. Resolución de Ecuaciones con Productos Incluidos

Primero se efectúan los productos incluidos y luego se sigue el procedimiento general (aplicando el criterio de las operaciones inversas).

EJEMPLO:

4. Resolver Problemas Mediante Ecuaciones

Para resolver un problema, primero debemos plantearlo en forma matemática (realizar una ecuación) y luego realizar las operaciones correspondientes para hallar el valor de la incógnita (el dato que deseamos conocer).

EJEMPLO:

Problema: Fernando es 3 años menor que Álvaro, pero es 7 años mayor que Lucía. Si la suma de las edades de los tres es 38, ¿qué edad tiene cada uno?

1. Digamos que las edades de los tres son:

x edad de Fernando

y edad de Álvaro

z edad de Lucía

2. Sabemos que la edad de Álvaro es igual a la edad de Fernando más 3 años:

y = x + 3

También sabemos que la edad de Lucía es igual a la edad de Fernando menos 7 años:

z = x – 7

Ahora tenemos que:

edad de Fernando: x

edad de Álvaro: x +3

edad de Lucía: x – 7

3. La suma de las tres edades es 38:

x + x +3 + x – 7 = 38

4. Resolviendo está última ecuación tendremos:

x = 14 (esta es la edad de Fernando)

R. Finalmente:

edad de Fernando: x = 14 años

edad de Álvaro: x + 3 = 17 años

edad de Lucía: x – 7 = 7 años

Profesor en línea.Querelle y Cia Ltda. Santiago, Chile. http://www.profesorenlinea.cl/

jueves, 10 de julio de 2014

División de Polinomios Y División Sintética

División de Polinomios

Para realizar esta operación, se necesita tener claro:

1.División de un Monomio por otro Monomio

Se divide el coeficiente del dividiendo entre el coeficiente del divisor y se escriben las letras ordenadas alfabéticamente, elevando cada letra a un exponente igual a la diferencia entre el exponente que tiene en el dividendo y el exponente que tiene en el divisor. El signo del cociente será el que corresponda al aplicar la regla de los signos.

EJEMPLO:

2. División de un Polinomio por un Monomio

Se divide cada uno de los términos del polinomio por el monomio teniendo en cuenta la regla de los signos, y se suman los cocientes

EJEMPLO:

3. División de un Polinomio por un Polinomio

División Sintética

Se utiliza para dividir un polinomio entre un binomio de la forma x-c y su aplicación principal es para determinar los ceros de un polinomio.

PASOS

1. Establezca la división sintética, colocando en la primera fila los coeficientes del polinomio (si algún término no aparece, asígnele coeficiente cero) y a la extrema izquierda el valor de x.

2. Baje el coeficiente principal a la tercera fila.

3. Multiplique x por el coeficiente principal n.

4. Sume los elementos de la segunda columna.

5. Luego repita el paso 4 hasta que se llegue al término constante.

6. Escriba la respuesta, es decir, el cociente y residuo. Como el dividendo es de grado

n

y el divisor es de grado 1, el cociente es de grado

n 1

y sus coeficientes son

b_{n 1} b_{n 1} b_{1} b_{0}

y el residuo es

a_{0} {cb}_{0}

EJEMPLO:

Gral.Lázaro Cárdenas. Disponible en: http://www.eplc.umich.mx/salvadorgs/matematicas1/contenido/CapIII/3_7_div_pol.htm

Universidad de Puerto Rico Recinto Mayaguez. Disponible en: http://quiz.uprm.edu

Casos de Factorización

Factorizar se podría entender como expresar un polinomio como el producto de polinomios más simples.Se encuentran 9 diferentes casos:

1. Factor Común

Sacar el factor común es añadir el literal común de un polinomio, binomio o trinomio con el menor exponente y el divisor común de sus coeficientes.

EJEMPLO:

a^2+a b = a (a+b)

9a^2-12ab+15a^3b^2-24ab^3=3a(3a-4b+5a^2b^2-8b^3)

Factor común de un trinomio: Por agrupación de términos.

EJEMPLO:

ab + ac + ad = a ( b + c + d) \,

ax + bx + ay + by = a (x+y) + b (x+y) = (x+y)(a + b ) \,

Factor Común Polinomios

EJEMPLO:

5x^2(x-y) + 3x(x-y) +7(x-y) \,

(5x^2 + 3x +7) \,

(5x^2+3x+7)(x-y) \,

2. Factor Común Por Agrupación de Términos

Se debe tener en cuenta que son dos características las que se repiten.

EJEMPLO:

2y + 2j +3xy + 3xj\,

= (2y+2j)+(3xy+3xj)\,

Se aplica el caso 1

= 2(y+j)+3x(y+j)\,

= (2+3x)(y+j)\,

3. Trinomio Cuadrado Perfecto

Se identifica por tener tres términos, de los cuales dos tienen raíces cuadradas exactas, y el restante equivale al doble producto de las raíces del primero por el segundo.

(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2\,

(a-b)^2 = a^2-2ab+b^2\,

EJEMPLO:

(x+y)^2 = x^2+2xy+y^2\,

4. Diferencia de Cuadrados

Se identifica por tener dos términos elevados al cuadrado y unidos por el signo menos. Se resuelve por medio de dos paréntesis.

(ay-bx)(ay+bx)= (ay)^2-(bx)^2 \,

EJEMPLO:

9y^2-4x^2= (3y)^2-(2x)^2= (3y+2x)(3y-2x)\,

5. Trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción

x² + xy + y² x² + xy + y² + (xy-xy) =

x² + 2xy + y² - xy = (x+y)² - xy

6. Trinomio de la forma x² + bx + c

Se identifica por tener tres términos, hay una literal con exponente al cuadrado y uno de ellos es el término independiente.

EJEMPLO:

a^2+2a-15 = (a+5) (a-3) \,

7. Suma o diferencia de potencias

La suma de dos números a la potencia n, aⁿ +bⁿ se descompone en dos factores (siempre que n sea un número impar)

x^n + y^n = (x+y)(x^{n-1}-x^{n-2}y+x^{n-3}y^2-... + xy^{n-2}-y^{n-1}) \,

EJEMPLO:

x^3+1 = (x+1)(x^2-x+1) \,

8. Trinomio de la forma ax² + bx + c

En este caso se tienen 3 términos: El primer término tiene un coeficiente distinto de uno, la letra del segundo término tiene la mitad del exponente del término anterior y el tercer término es un término independiente.

EJEMPLO:

4x^2+12x+9\,

4x^2(4)+12x(4)+(9\cdot4)\

4^2x^2+12x(4)+36\,

Se debe encontrar dos números que multiplicados entre sí den como resultado el término independiente y que su suma sea igual al coeficiente del término x